Eğitim hayatını İsviçre’de tamamlayan Kuran, Zürih Üniversitesi Hukuk ve Siyasal Bilimler Fakültesi'nden mezun olmuştur.
Akademik kariyerine Marmara Üniversitesi Hukuk Fakültesi’nde başlayan Kuran, 1992 yılında öğretim görevlisi olarak göreve başlamış, 2001’de doçent, 2007’de ise profesör unvanını almıştır. Halen Marmara Üniversitesi Kamu Hukuku Bölümü ve Avrupa Birliği Hukuku Anabilim Dalı’nda bölüm başkanlığı görevlerini yürütmektedir.
Özel hayatında, Av. Hülya Kuran ile evli olan Prof. Dr. Selami Kuran’ın Ahmet Fatuk ve Zeynep isimlerinde iki çocuğu bulunmaktadır. Akademik çalışmalarının yanı sıra sosyal medyada da aktif olup, Twitter’da binlerce takipçisi bulunmaktadır.